函数讲义 · 01 讲台

抽象坐标变换：从"点怎么动"到"式子怎么写"

2 小时 · 前置：无 · 硬动作：不描点，能说出任一图象左右上下怎么移

00–10 诊断 10–45 讲授 45–100 练一练 100–120 复盘 + 让他讲
诊断

他到底卡在哪一层

10 分钟

四道题只问一件事：他知不知道图象为什么会动。这四题决定这节课讲多深。

诊断四题
  1. 点 A(2, 3) 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，新坐标是什么？
  2. 把图象上每一个点都向右移 2，整条曲线会怎样？
  3. y = x² 与 y = (x − 3)² 的图象，哪个更靠右？
  4. 你在黑板上画出来的那条抛物线，是"y 的值"还是"点的集合"？
课前 2 分钟过一眼，讲完诊断再看答案
  • 第 1 题：(6, 2)。会做说明"点"这一层没问题。
  • 第 2 题是关键题。答"整条曲线往右挪"＝跨过去了；答"要一个个描"＝还停在点层面。
  • 第 3 题多数人会答错成左边，因为"减号让人觉得变小"。这正是今天要拆的误会。
  • 第 4 题答"点的集合"是高中语言；答"y 的值"说明他把图象当成了计算结果。
看结果决定今天怎么走

如果第 2、3 题都卡住，今天连"函数"两个字都不要提，整节课只做坐标变换，概念留到 02 讲。这是"算法会算、图象没底"孩子的典型处理方式。

讲授

核心一句：括号里的减法，图象往右走

35 分钟

第一步：先把"图象"这个对象说清楚5 分钟

照着念

"你初中画图，是列表、描点、连线。我问你：连出来的那条线，是谁？"

（停一下等他）"那条线不是 y 的值，y 的值只是一个个数。图象是所有满足这个式子的点放在一起的样子。所以式子变了，其实是点的位置变了。"

"从今天起我们不描点，直接看——点被怎么挪了。"

心里有数他很可能答"就是那条线"，很正常，不要在这句上纠缠，把结论给他就行。
板书 · 他抄
图象 = 所有点 (x, y) 的集合 式子变了 ⇔ 点的位置变了

第二步：先做"点"的变换10 分钟

这一步用最笨的对象——一个点，把规律钉死。他"算法会算"，点运算不难，正好当信心起点。

板书 · 点的平移
右移 a：　(x, y) → (x + a, y) 左移 a：　(x, y) → (x − a, y) 上移 b：　(x, y) → (x, y + b) 下移 b：　(x, y) → (x, y − b)
照着问，一问一等

"A(2, 3) 往右 4 格，坐标变成几几？"

"横坐标加了 4，纵坐标呢？"

"那左移 4 格，为什么是减 4？"

"好，现在把每一个点都这样处理，整条曲线会怎样？"

心里有数最后一句让他自己说出"整体平移"四个字，说不出来就再举两个点带一遍。四句要一问一停，别一口气念完。

第三步：从"点移"推出"式变"15 分钟

这是全课最难的一步，也是他"坐标变换没画面"的根。必须让他推一遍，不要直接给结论。

板书 · 边推边写（写错就擦，让他重说）

设 y = f(x) 图象上任意一点是 (x, f(x))。

把它往右移 2、往上移 1，得到新点：

(x + 2, f(x) + 1)

设新点的坐标叫 (X, Y)，即：

X = x + 2 　 ⇒ 　 x = X − 2 Y = f(x) + 1 　 ⇒ 　 Y = f(X − 2) + 1

所以新图象的解析式就是：

y = f(x − 2) + 1
这节课的一句话精华

括号里减了几，图象就往右走几。因为"新点的横坐标要先减 2 才回到老图上的点"——减号不是让图往左，而是在补偿。

坐标系示意图：几个点与对应函数图象的位置关系。 坐标系示意图：几个点与对应函数图象的位置关系。-4-224-1246810y=x²y=(x−2)²+1顶点 (2,1)
图 1　同一坐标系里 y = x²（灰虚线）与 y = (x−2)² + 1（橙实线）。先让他找两条曲线的顶点，再问：顶点的变化和式子的变化对得上吗？
追问 · 检验他有没有真懂

"顶点从 (0,0) 跑到 (2,1)。式子里的 −2 和 +1，分别对应哪个方向？"

心里有数他若答"−2 往左"，先别纠正，让他代点检验："你说往左，那顶点应该在 (−2, ?)，可图上是 (2, 1)，矛盾在哪？"让他自己发现比你说十遍有用。
练习

练一练 · 由浅到深三组

50 分钟

他写，我看。每组做完当场对，错的当场说清楚为什么——不要攒到课后再讲。

A 组 · 点的平移（10 分钟）
  1. 点 (3, −2) 向左 5、向上 4 → 新坐标　___
  2. y = x² 上一点 (2, 4)，图象整体右移 3、下移 2 后，这个点跑到哪？
对答案
1. (−2, 2)。　2. (5, 2)。若他把纵坐标也加 3，说明"横纵互不影响"还没建立。
B 组 · 说出平移方向（20 分钟）
  1. 由 y = x² 如何得到 y = (x + 3)²？（说方向、说格数）
  2. 由 y = x² 如何得到 y = x² − 4？
  3. 由 y = |x| 如何得到 y = |x − 1| − 1？
对答案
1. 左移 3。括号里加 3 → 往左 3。这题最容易错，答"往右"要当场用图检验。
2. 下移 4。加在括号外，直接跟着 y 变。
3. 右移 1、再下移 1。
坐标系示意图：两条图象在同一坐标系中相交，用于数交点个数。 坐标系示意图：两条图象在同一坐标系中相交，用于数交点个数。-4-224-1246810y=|x−1|y=|x|−1y=|x|
图 2　y = |x|（灰虚）、y = |x−1|（橙）、y = |x|−1（蓝）。做完 B 组第 3 题，让他指着图说：哪条往右、哪条往下。
C 组 · 反过来推式子（20 分钟）
  1. y = 1/x 的图象右移 2 后，解析式是什么？
  2. y = x² 的图象向左 1、向上 3 后，解析式是什么？顶点在哪？
  3. y = 2/x 与 y = 2/(x + 1) 的图象，位置关系是什么？
对答案
1. y = 1/(x − 2)。
2. y = (x + 1)² + 3，顶点 (−1, 3)。
3. 后者是前者左移 1。分母里 +1 表示往左，和括号里是同一回事。
坐标系示意图：函数的平移与坐标变换。 坐标系示意图：函数的平移与坐标变换。-4-224-12468y=2/xy=2/(x+1)
图 3　y = 2/x（灰）与 y = 2/(x+1)（橙）。让他指两条曲线的"断点"分别在哪，再对应回分母等于 0 的位置。
复盘

三个必踩的坑 + 让他讲给你听

20 分钟
错误他心里的想法我的一句话
把 f(x−2) 说成"左移 2" "减号＝变小＝往左" "代 x = 2 进去，新图在哪个位置？老图哪个点跑到这来了？"
横纵坐标一起加减 "整体平移，应该一起变" "往右挪，点是不是变高了？"
遇到 1/(x−2)、|x−2| 就不会 "只有二次函数才能平移" "这个式子里，x 是被括号里的 '−2' 处理了，还是被外面的 '+1' 处理了？"
收口 · 最后 5 分钟，必做

"把那句结论用你自己的话说一遍，并举例。"

合格的复述大概长这样："括号里减几，图就往右走几，因为它是在说'我要找老图上 x 减掉 2 那个位置'。"

若他只会背"左加右减"、说不出"补偿"的意思——这节课没过关，下讲开头花 15 分钟重来。

课后布置

1. 用自己的话写三句：括号里加、括号里减、括号外加减，图象分别怎么动。
2. 做 6 道纯平移题（今天不碰定义域、不碰奇偶）。
3. 下次课第一件事：不看书复述这三句。