函数讲义 · 01 学生

坐标变换：图象为什么会动

两小时 · 基础讲，后面每一讲都要用

学完这一讲，你要能做到：不描点，直接说出图象往哪边挪、挪了几格。

这一讲要记住的一句话
括号里减了几，图象就往右走几；括号里加了几，图象就往左走几。括号外面加减几，图象就上下走几。
准备

开讲前先做四道

四题只问一件事：你知不知道图象为什么会动。做不出来没关系，先做一遍，讲完再回来看。

先做四题
  1. 点 A(2, 3) 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，新坐标是什么？
  2. 把图象上每一个点都向右移 2，整条曲线会怎样？
  3. y = x² 与 y = (x − 3)² 的图象，哪个更靠右？
  4. 你在纸上画出来的一条抛物线，是"y 的值"还是"点的集合"？
01

先弄清"图象"这个东西

定义

图象 = 所有满足这个式子的点 (x, y) 放在一起

式子里每代进去一个 x，就得到一个 y，两者配对成一个点。所有的点凑起来，就是那条线。

关键推论

式子变了 ⇔ 点的位置变了 ⇔ 整条线动了。所以以后再看到 y = (x − 2)² 这种式子，不用描点，直接想"点被怎么挪了"。

02

第一步：先记点的平移（最简单的一步）

必记 · 点的平移
右移 a：　(x, y) → (x + a, y) 左移 a：　(x, y) → (x − a, y) 上移 b：　(x, y) → (x, y + b) 下移 b：　(x, y) → (x, y − b)

横着走只改 x，竖着走只改 y，互不干扰。

例题 1
点 A(2, 3) 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，新坐标？
往右 4，是横坐标加 4：2 + 4 = 6。 往下 1，是纵坐标减 1：3 − 1 = 2。 新坐标 (6, 2)。
最容易错的地方

往右走，点是变高了吗？不是。往右只是 x 变大，高度完全没变。横纵互不影响，这一条后面会救你很多次。

03

第二步：从"点移"推出"式变"（本讲最重要）

这一步是整讲最难的，但它只有三个动作：写出新点、换字母、代回去。

例题 2（完整推导，必须自己能写一遍）
把 y = f(x) 的图象向右移 2、向上移 1，求新图象的解析式。
① 老图象上任意一点是 (x, f(x))。 ② 把它向右 2、向上 1，得到新点 (x + 2, f(x) + 1)。 ③ 设新点的坐标叫 (X, Y)，则 X = x + 2、Y = f(x) + 1。 ④ 从 X = x + 2 反解出 x = X − 2，代进去：Y = f(X − 2) + 1。 ⑤ 把大写字母换回 x、y：y = f(x − 2) + 1。
为什么括号里是减 2

因为新点的横坐标要先减掉 2，才能回到老图上那个点的位置。减号不是让图往左，而是在补偿——意思是"这里要找的是老图上横坐标为 X − 2 的那个点"。

括号里减了几，图象就往右走几。这一句就是本讲的全部。

坐标系示意图：几个点与对应函数图象的位置关系。 坐标系示意图：几个点与对应函数图象的位置关系。-4-224-1246810y=x²y=(x−2)²+1顶点 (2,1)
图 1　y = x²（灰虚线）向右 2、向上 1，变成 y = (x−2)² + 1（橙实线）。顶点从 (0,0) 跑到 (2,1)，和式子里的 −2、+1 一一对应。
例题 3
y = |x| 向右平移 1、再向下平移 1，解析式是什么？
横着往右 1 → 括号里写 x − 1。 竖着往下 1 → 整个式子外面减 1。 答案：y = |x − 1| − 1。
练习

练习（先写完，再点开对答案）

A 组 · 点的平移
  1. 点 (3, −2) 向左 5、向上 4 → 新坐标是什么？
  2. y = x² 上有一点 (2, 4)，图象整体右移 3、下移 2 后，这个点跑到哪？
对答案
1. (−2, 2)。　2. (5, 2)。
B 组 · 说出平移方向
  1. 由 y = x² 如何得到 y = (x + 3)²？（说方向、说格数）
  2. 由 y = x² 如何得到 y = x² − 4？
  3. 由 y = |x| 如何得到 y = |x − 1| − 1？
对答案
1. 左移 3 个单位（括号里加 3 → 往左）。
2. 下移 4 个单位（加在括号外面，直接跟着 y 变）。
3. 右移 1、再下移 1。
坐标系示意图：两条图象在同一坐标系中相交，用于数交点个数。 坐标系示意图：两条图象在同一坐标系中相交，用于数交点个数。-4-224-1246810y=|x−1|y=|x|−1y=|x|
图 2　y = |x|（灰虚）、y = |x−1|（橙）、y = |x|−1（蓝）。做完 B 组第 3 题，在图上指出哪条往右、哪条往下。
C 组 · 反过来推式子
  1. y = 1/x 的图象右移 2 后，解析式是什么？
  2. y = x² 的图象向左 1、向上 3 后，解析式是什么？顶点在哪？
  3. y = 2/x 与 y = 2/(x + 1) 的图象，位置关系是什么？
对答案
1. y = 1/(x − 2)。
2. y = (x + 1)² + 3，顶点 (−1, 3)。
3. 后者是前者左移 1 个单位。分母里的 +1 和括号里的 +1 是同一回事。
坐标系示意图：函数的平移与坐标变换。 坐标系示意图：函数的平移与坐标变换。-4-224-12468y=2/xy=2/(x+1)
图 3　y = 2/x（灰）与 y = 2/(x+1)（橙）。两条曲线"断开"的位置，正好是分母等于 0 的地方。
易错

三个最容易犯的错

错误为什么会这样想怎么破
把 f(x−2) 说成"左移 2" "减号就是变小，就是往左" 代 x = 2 进去：新图在 y 轴上取的正是老图 x = 0 的值。所以老图跑到右边了。
横纵坐标一起加减 "整体平移，应该一起变" 往右挪，点变高了吗？没有。横纵互不影响。
遇到 1/(x−2)、|x−2| 就不会 "只有二次函数才能平移" 规则只跟"x 被改成 x−2 了"有关，跟外面是什么函数无关。
自测

这一讲的过关清单

逐条打勾。全部打勾才算这一讲过；有任何一条做不到，先别进下一讲。

课后布置

1. 用自己的话写三句：括号里加、括号里减、括号外加减，图象分别怎么动。
2. 做 6 道纯平移题（今天不碰定义域、不碰奇偶）。
3. 下次课第一件事：不看书复述这三句。