函数讲义 02 · 函数概念三要素：定义域是"准入证"

诊断

先看他是不是把函数当成"一个式子"

10 分钟

三题看一件事：他脑子里，函数到底是"算式"还是"一个带准入规则的对象"。

诊断三题

y = x 与 y = x²/x 是同一个函数吗？为什么？
f(x) = √(x − 1) 中，x 能取 0 吗？为什么不能？
f(x) = x²，则 f(2) 是多少？f(a) 呢？f(a+1) 呢？

课前过一眼

第 1 题答"是"——正是本讲最大的误区：定义域不同就不是同一个函数，x²/x 在 x=0 处没意义。
第 2 题答"不能，根号下是负的"＝过关；答"课本规定的"＝需要补"限制从哪来"。
第 3 题 f(a+1) = (a+1)²。多数初中生会把它算成 a²+1，这一步是高中抽象度的第一关。

讲授

三要素：同一件事的三个侧面

40 分钟

第一步：把初中定义升级10 分钟

初中背过的说法

在一个变化过程中，有两个变量 x、y，如果对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，就说 y 是 x 的函数。

照着问

"这句话你背过。我问你：'每一个 x 的取值'——取哪些？全部实数吗？"

（等他犹豫）"看 y = 1/x。x 能是 0 吗？不能。所以并不是所有 x。那函数是不是得先说清楚'能用哪些 x'？"

"这个'能用哪些 x'就是定义域。高中第一件事，就是把这句话拆成三块。"

板书 · 本讲唯一要背的东西

函数 = 定义域 A + 对应关系 f + 值域 {f(x) | x ∈ A}

记法：准入证 + 加工厂 + 产品库。

图 1　中间那个"加工厂"是规矩，两边是名单。学生习惯只盯着式子看，这一张图提醒他：式子只是中间那一块。

第二步：定义域是准入证——四条限制15 分钟

求定义域不靠背，靠问三个问题：分母会不会是 0？根号里会不会负？对数的真数会不会 ≤ 0？（对数放到 06 讲）

板书 · 常见限制

形式	限制	讲给他的那句
1/g(x)	g(x) ≠ 0	"除以 0 没有定义"
√(g(x))	g(x) ≥ 0	"负数开不出实数平方根"
log g(x)	g(x) > 0	"负数和 0 没有对数"（06 讲再细说）
x⁰	x ≠ 0	"0 的 0 次方没意义"

照着讲 · 一个必讲的细节

"求定义域不是看一眼答案，而是列不等式组、解出来、写成集合或区间。"

"比如 f(x) = √(x−2)/(x−3)：根号要求 x−2 ≥ 0，分母要求 x−3 ≠ 0。两条要同时满足——这就是交集。"

板书：x ≥ 2 且 x ≠ 3 ⇒ [2, 3) ∪ (3, +∞)

心里有数这题他最容易把"且"写成"或"，写完先让他自己代 x=0 检验一遍。

第三步：同一个函数，只有一个判据15 分钟

判断两个函数是否相同

定义域相同且对应关系相同，才是同一个函数。字母不同无所谓（f(x) 和 g(t) 可以是同一个），定义域不同就一定不是。

比较	定义域	对应关系	结论
y = x 与 y = x²/x	R 与 R\{0}	化简后都是 x	不是同一函数
y = x 与 y = (√x)²	R 与 [0, +∞)	化简后都是 x	不是
f(x) = x² 与 g(t) = t²	都是 R	都是"平方"	是

给他一个记忆锚

"先看准入证，再比加工厂。准入证不一样，哪怕加工厂一模一样，也不是同一个函数。"

第四步：值域不是求出来的，是"看出来的"10 分钟

照着讲

"值域怎么求？先别急着配方。先问：这个函数最低能到哪、最高能到哪？"

"y = x² 最小 0，值域 [0, +∞)；y = x² + 1 最小 1，值域 [1, +∞)。看到了吗——值域跟着图象走，图象是 01 讲的东西。"

"这就是为什么高中函数必须把式子 + 图象一起看。"

练习

练一练

50 分钟

A 组 · 求定义域（15 分钟）

f(x) = 1/(x − 5)
f(x) = √(2x + 6)
f(x) = √(x − 1)/(x + 2)
f(x) = √(4 − x²)

对答案

1. x ≠ 5，即 (−∞, 5) ∪ (5, +∞)。
2. x ≥ −3，即 [−3, +∞)。
3. x ≥ 1 且 x ≠ −2（后一条自动满足），即 [1, +∞)。
4. −2 ≤ x ≤ 2，即 [−2, 2]。这题会暴露"二次不等式"是否过关。

B 组 · 同一个函数（15 分钟）

y = x + 1 与 y = (x² − 1)/(x − 1)
y = |x| 与 y = √(x²)
y = x 与 y = (√x)²
f(x) = 2x + 1 与 g(t) = 2t + 1

对答案

1. 不是（前者定义域 R，后者 x ≠ 1）。
2. 是。两者定义域都是 R，且 √(x²)=|x|。这题很多学生会答"不是"，值得单独讲两分钟。
3. 不是（后者定义域 [0, +∞)）。
4. 是（字母只是名字）。

C 组 · f 的抽象用法（20 分钟）

f(x) = x² − 3x，求 f(2)、f(a)、f(a + 1)。
f(x) = 1/(x + 2)，求 f(−1)、f(f(0))。
若 f(x + 1) = x²，求 f(x) 的表达式。

对答案

1. f(2) = −2；f(a) = a² − 3a；f(a+1) = (a+1)² − 3(a+1) = a² − a − 2。
2. f(−1) = 1；f(0) = 1/2；f(f(0)) = f(1/2) = 1/(5/2) = 2/5。
3. 令 t = x + 1，则 x = t − 1，f(t) = (t−1)² = t² − 2t + 1，即 f(x) = x² − 2x + 1。这题是"换元"的雏形，讲不清说明他还在把 x 当"数"而不是"位置"。

复盘

三个坑 + 让他讲给你听

20 分钟

错误	根源	我的一句话
先化简再求定义域	把式子当函数本体	"化简之前，原式在 x=3 处算得出来吗？"
定义域写成 x ≥ 2 或 x ≠ 3	不等式组的"且"写成"或"	"x=0 满足哪一条？它该在答案里吗？"
f(a+1) 写成 f(a)+1	把 f 当成乘数	"f 是加工厂，不是数。f(a+1) 是把整个 (a+1) 整个塞进机器。"

收口 · 最后 5 分钟

"函数的三要素是什么？其中哪一个决定了'两个函数是不是同一个'？"

合格答法必须提到"定义域不同就不是同一个函数"。只会背三要素名字、不能解释的——这节课没过关。

课后布置

1. 课本必修一"函数的概念"一节例题全做。
2. 自造 5 个函数，逐个写出定义域，再两两判断是否同一函数。
3. 下次课前 3 分钟：复述"准入证 + 加工厂 + 产品库"。