这一讲要记住的一句话
函数有三块：定义域、对应关系、值域。判断是不是同一个函数，先看定义域，再看对应关系——定义域不一样，就肯定不是。
准备
开讲前先做三题
三题只看一件事：在你脑子里，函数是一个"算式"，还是一个带准入规则的对象。
先做三题
- y = x 与 y = x²/x 是同一个函数吗？为什么？
- f(x) = √(x − 1) 中，x 能取 0 吗？为什么不能？
- f(x) = x²，那么 f(2)、f(a)、f(a + 1) 分别是多少？
01
从初中的定义升级
初中背过的说法
在一个变化过程中，有两个变量 x、y，如果对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，就说 y 是 x 的函数。
注意"每一个取值"这四个字：并不是所有 x 都能取。比如 y = 1/x，x 就不能是 0。所以函数必须先说清楚"哪些 x 能用"。
必记 · 本讲唯一要背的东西
函数 = 定义域 A + 对应关系 f + 值域 {f(x) | x ∈ A}
记忆方式：准入证 + 加工厂 + 产品库。
图 1 中间的"加工厂"是规矩，两边是名单。平时写的那个式子，只是中间那一块。
02
定义域：四条限制
求定义域不靠背，靠问问题：这个式子在哪一步会算不下去？算不下去的地方，就要排掉。
| 形式 | 限制条件 | 为什么 |
|---|
| 1 / g(x) | g(x) ≠ 0 | 除以 0 没有定义 |
| √(g(x)) | g(x) ≥ 0 | 负数开不出实数平方根 |
| log g(x) | g(x) > 0 | 负数和 0 没有对数（06 讲细说） |
| x⁰ | x ≠ 0 | 0 的 0 次方没意义 |
例题 1
求 f(x) = √(x−2) / (x−3) 的定义域。
根号要求 x − 2 ≥ 0，即 x ≥ 2。
分母要求 x − 3 ≠ 0，即 x ≠ 3。
两条要同时满足（取交集）：x ≥ 2 且 x ≠ 3。
写成区间：[2, 3) ∪ (3, +∞)。
提醒
求定义域不是"看一眼答案"，而是列不等式组 → 解出来 → 写成集合或区间，三步一步都不能省。写"且"不能写"或"。
03
什么是同一个函数
判据
定义域相同且对应关系相同，才是同一个函数。
字母不同没关系（f(x) = x² 与 g(t) = t² 是同一个函数）；定义域不同，就一定不是。
| 比较 | 定义域 | 对应关系 | 结论 |
|---|
| y = x 与 y = x²/x | R 与 R\{0} | 化简后都是 x | 不是 |
| y = x 与 y = (√x)² | R 与 [0, +∞) | 化简后都是 x | 不是 |
| f(x) = x² 与 g(t) = t² | 都是 R | 都是"平方" | 是 |
记忆锚
先看准入证，再比加工厂。准入证不一样，哪怕加工厂一模一样，也不是同一个函数。
04
值域是"看"出来的
求值域，先别急着配方。先问一句：这个函数最低能到哪、最高能到哪？
y = x² 最低是 0，值域 [0, +∞)；y = x² + 1 最低是 1，值域 [1, +∞)。值域跟着图象走，而图象是 01 讲的内容。
结论
高中函数必须式子 + 图象一起看。只看式子，值域算不完。
练习
练习（先写完，再点开对答案）
A 组 · 求定义域
- f(x) = 1/(x − 5)
- f(x) = √(2x + 6)
- f(x) = √(x − 1)/(x + 2)
- f(x) = √(4 − x²)
对答案
1. x ≠ 5，即 (−∞, 5) ∪ (5, +∞)。
2. x ≥ −3，即 [−3, +∞)。
3. x ≥ 1 且 x ≠ −2（后一条自动满足），即 [1, +∞)。
4. −2 ≤ x ≤ 2，即 [−2, 2]。这题会暴露二次不等式熟不熟。
B 组 · 是不是同一个函数
- y = x + 1 与 y = (x² − 1)/(x − 1)
- y = |x| 与 y = √(x²)
- y = x 与 y = (√x)²
- f(x) = 2x + 1 与 g(t) = 2t + 1
对答案
1. 不是（前者定义域 R，后者 x ≠ 1）。
2. 是。两者定义域都是 R，且 √(x²) = |x|。这题很多人答"不是"。
3. 不是（后者定义域 [0, +∞)）。
4. 是（字母只是名字）。
C 组 · f 的抽象用法
- f(x) = x² − 3x，求 f(2)、f(a)、f(a + 1)。
- f(x) = 1/(x + 2)，求 f(−1)、f(f(0))。
- 若 f(x + 1) = x²，求 f(x)。
对答案
1. f(2) = −2；f(a) = a² − 3a；f(a+1) = (a+1)² − 3(a+1) = a² − a − 2。
2. f(−1) = 1；f(0) = 1/2；f(f(0)) = f(1/2) = 2/5。
3. 令 t = x + 1，则 x = t − 1，f(t) = (t−1)² = t² − 2t + 1，即 f(x) = x² − 2x + 1。
第 3 题是"换元"的第一步：字母 x 只是一个位置，不是某个具体的数。
易错
三个最容易犯的错
| 错误 | 根子在哪 | 怎么办 |
|---|
| 先化简再求定义域 | 把式子当成了函数本体 | 问自己："化简之前，原式在这个点算得出来吗？" |
| 定义域写成 "x ≥ 2 或 x ≠ 3" | 把不等式组的"且"写成"或" | 代一个数检验：x = 0 满足哪一条？它应该在答案里吗？ |
| f(a+1) 写成 f(a) + 1 | 把 f 当成了乘数 | f 是加工厂，不是数。要把整个 (a+1) 一起塞进机器。 |
自测
这一讲的过关清单
能做到就打勾
- 我能说出函数的三要素，并解释每一块是什么。
- 我能不看笔记写出四条定义域限制（分母、根号、对数、x⁰）。
- 我能对任意一个式子列不等式组，求出定义域并写成区间。
- 我能判断两个式子是不是同一个函数，并说出是定义域不同还是对应关系不同。
- 我能算 f(a+1)，不会把它写成 f(a)+1。
课后布置
1. 课本必修一"函数的概念"一节例题全做。
2. 自己造 5 个函数，逐个写定义域，再两两判断是不是同一个函数。
3. 下次上课前 3 分钟，不看书写出："准入证 + 加工厂 + 产品库"。