函数讲义 · 03 学生

单调性：怎么证明"一直往上走"

两小时 · 必须先学过 02

学完这一讲，你要能做到：用定义法写出规范的单调性证明（四步不跳）。

这一讲要记住的一句话
看图判断单调性只是"猜"，定义法作差才是"证"。考试要的是证——所以四步一步都不能少。
准备

开讲前先做三题

三题只为让你先撞一次墙："图上看起来往上走"，能不能当理由？

先做三题
  1. f(x) = x² 在 R 上是增函数吗？
  2. 已知 f(0) = 0、f(−1) = 1，能不能说 f 在 R 上不是增函数？
  3. 要说明"f 在 (0, +∞) 上单调递增"，只举两组数够不够？
01

单调性的定义（一定要按原文背）

定义

设函数 f(x) 的定义域为 I，区间 D ⊆ I。如果对 D 内任意两个自变量 x₁、x₂，

当 x₁ < x₂ 时，都有 f(x₁) < f(x₂)，

就说 f(x) 在 D 上单调递增。反过来，若都有 f(x₁) > f(x₂)，就叫单调递减。

定义里最关键的两个字

任意。举例子永远证明不了单调性，因为举的永远是"某些"点。证明必须作差、必须对任意 x₁ < x₂ 推出一致的结论。

最容易错：单调要带区间说

"f(x) = 1/x 是减函数"这句话是错的。它在 (−∞,0) 上减、在 (0,+∞) 上也减，但在整个定义域上不是减函数。说单调性必须指明是哪个区间。

02

定义法四步（考试的标配格式）

必记 · 四步
① 取值　② 作差 f(x₁) − f(x₂)　③ 变形（提、通分、有理化）　④ 定号 · 下结论

这四步和"看图"没有任何关系，它是纯代数。不能省"任取"，最能暴露问题的就是第③步的变形。

单调性示意图：上坡与下坡 左右两个坐标系，左边增函数曲线上坡，右边减函数曲线下坡，标出这两个函数都不关于 y 轴对称。 y 随 x 变大而变大 单调递增 上坡：往右走，越走越高 y 随 x 变大而变小 单调递减 下坡：往右走，越走越低 单调性说的是：在区间里，往右走，图象是上坡还是下坡
图 1　左：越往右越高，叫递增；右：越往右越低，叫递减。这四个字是"看图得到的直觉"，不是证明。
例题 1（最重要，必须自己完整写一遍）
证明 f(x) = 1/x 在 (0, +∞) 上单调递减。
① 取值：任取 x₁、x₂ ∈ (0, +∞)，且 x₁ < x₂。 ② 作差：f(x₁) − f(x₂) = 1/x₁ − 1/x₂。 ③ 变形（通分）：= (x₂ − x₁) / (x₁x₂)。 ④ 定号：因为 0 < x₁ < x₂，所以 x₂ − x₁ > 0，x₁x₂ > 0。因此差 > 0。 ⑤ 结论：f(x₁) > f(x₂)，故 f 在 (0, +∞) 上单调递减。
为什么第③步是重点

作差之后式子长什么样，决定你能否判断符号。真要算的是"能不能一眼看出差的符号"：能因子分解、能通分成一个分数、能把根号去掉，就能。

03

第③步的三种常用变形

函数长什么样怎么变形目的
分式 1/x、x/(x+1)通分，化成一个分数分子分母的符号都能定
含根号 √x分子有理化把减号变成加的
二次 x²提公因式 (x₁ − x₂)化成一个正因子乘一个易判号因子
例题 2（分子有理化，很多人第一次见）
证明 f(x) = √x 在 [0, +∞) 上单调递增。
① 任取 0 ≤ x₁ < x₂。 ② f(x₁) − f(x₂) = √x₁ − √x₂。 ③ 分子有理化：√x₁ − √x₂ = (x₁ − x₂) / (√x₁ + √x₂)。 ④ x₁ − x₂ < 0，分母 √x₁ + √x₂ > 0（x₂ > x₁ ≥ 0 保证不出现 0/0），所以差 < 0。 ⑤ 结论：f(x₁) < f(x₂)，单调递增。
坐标系示意图：偶函数图象关于 y 轴对称。 坐标系示意图：偶函数图象关于 y 轴对称。-222468y=x²
图 2　y = x²：在 (0, +∞) 上一路上升，在 (−∞, 0) 上一路下降。别再说"x² 是增函数"，要带区间。
练习

练习（先写完，再点开对答案）

A 组 · 判断与说理由
  1. 说出 f(x) = 2x + 1 在 R 上的单调性，并给一句理由。
  2. f(x) = x² − 4x 的单调区间是什么？（提示：配方）
  3. 能不能说 f(x) = |x| 在 R 上单调？为什么？
对答案
1. 单调递增。任取 x₁ < x₂，f(x₁)−f(x₂) = 2(x₁−x₂) < 0。
2. f(x) = (x−2)² − 4：在 (−∞, 2] 上递减，在 [2, +∞) 上递增。
3. 不能。必须分开说：(−∞,0] 上递减，[0,+∞) 上递增。
B 组 · 完整写出证明
  1. 用定义证明 f(x) = −2x + 3 在 R 上单调递减。
  2. 用定义证明 f(x) = x² + 1 在 (0, +∞) 上单调递增。
对答案
1. 任取 x₁ < x₂。f(x₁)−f(x₂) = (−2x₁+3)−(−2x₂+3) = −2(x₁−x₂) > 0（因为 x₁−x₂ < 0）。故递减。
2. 任取 0 < x₁ < x₂。f(x₁)−f(x₂) = x₁² − x₂² = (x₁+x₂)(x₁−x₂)。
由 x₁+x₂ > 0、x₁−x₂ < 0，得差 < 0，故递增。
C 组 · 复合函数"同增异减"
  1. y = √(x² − 4x + 5)：外层 √ 递增，内层减、增，整体在哪个区间增？在哪个区间减？
  2. y = (1/2)^(x−1)：外层递增还是递减？整体单调性是？
对答案
1. 内层 u = (x−2)² + 1：x ≤ 2 递减，x ≥ 2 递增。外层递增，同增异减：整体在 (−∞, 2] 上递减，在 [2, +∞) 上递增。
2. 外层 (1/2)^u 递减，内层 u = x−1 在 R 上递增，一减一增 → 整体递减（在 R 上）。
易错

三个最容易犯的错

错误根子在哪怎么办
只举两组数就下结论把"有些点满足"当成了"所有点满足"回到定义里的"任意"两个字。
说"f(x)=1/x 是减函数"忘了单调性是区间上的往后每写一句单调性，前面都补上"在某某区间上"。
作差后直接写"<0，所以递增"符号与方向的对应关系记反口诀：差 > 0 → 前面大 → 递减；差 < 0 → 前面小 → 递增。
自测

这一讲的过关清单

课后布置

1. 用定义证明 f(x) = 1/(x−1) 在 (1, +∞) 上递减。
2. 求 f(x) = x² − 6x + 4 的单调区间。
3. 下次课复述四步，并把口诀"差 > 0 → 递减"说清楚。