函数讲义 · 04 讲台

奇偶性与对称性：把"对称"写成等式

2 小时 · 前置：03 单调性 · 硬动作：会判断奇偶，会用 f(−x) 推翻解析式

00–10 诊断 10–50 讲授 50–100 练一练 100–120 复盘 + 让他讲
诊断

他能不能"看"出对称

10 分钟

三题看一件事：他的"对称"是图上的印象，还是一个能写成式子的性质。

诊断三题
  1. y = x² 的图象关于什么对称？y = x³ 呢？
  2. f(x) = x² + 1，则 f(−2) 与 f(2) 什么关系？
  3. 一个函数要满足什么，才能叫"偶函数"？
课前过一眼
  • 第 1 题：前者关于 y 轴，后者关于原点。答不出却"知道两条曲线长啥样"＝图象记忆而非对称概念。
  • 第 2 题：相等。会算说明"对称"对他不抽象的。
  • 第 3 题若只答"图象关于 y 轴对称"，漏了定义域要关于原点对称这个前提——这是本讲的第一个坑。
讲授

从"形"到"数"：把对称翻译成式子

40 分钟

第一步：先讲清楚为什么要有前提10 分钟

照着讲 · 用一个反例开场

"偶函数是什么？你大概会答'关于 y 轴对称'。我举个反例：f(x) = x²，我只取 x ∈ [0, 1] 这一段。它关于 y 轴对称吗？"

"不对称。因为左边根本没有图。所以'对称'这件事，先得保证两边的 x 都存在。"

"这就是定义里那句看起来多余的话：定义域关于原点对称。"

心里有数这句他十有八九会点头但不当回事，练一练 A 组第 5 题会真正打到他。
判断奇偶的第一步永远是它

先看定义域是否关于原点对称。不对称，直接判"非奇非偶"，不必再算 f(−x)。

第二步：把"对称"写成等式15 分钟

板书 · 本讲唯一要背的两行
偶函数：f(−x) = f(x)　　（关于 y 轴对称） 奇函数：f(−x) = −f(x)　（关于原点对称）

前提：定义域关于原点对称。

照着讲 · 对着两张图讲

"偶函数：x 变成 −x，y 不变——左右两个点一样高，图象照 y 轴这面镜子。"

"奇函数：x 变成 −x，y 也变成 −y——点 (x, y) 对应 (−x, −y)，绕原点转半圈重合。"

"还有一个考试直接考的结论：奇函数如果在 x=0 处有定义，那么 f(0) 一定是 0。因为 f(0) = −f(0)。"

坐标系示意图：偶函数图象关于 y 轴对称。 坐标系示意图：偶函数图象关于 y 轴对称。-222468y=x²
坐标系示意图：奇函数图象关于原点对称。 坐标系示意图：奇函数图象关于原点对称。-22-12468y=x³/4
图 1　左：y = x²（偶，照 y 轴镜子）；右：y = x³/4（奇，绕原点转半圈重合）。让他先在图上指出"配对的点"，再代入 f(−x) 验证。

第三步：用奇偶性"造"另一半解析式15 分钟

这是奇函数最实用的一块：给 x > 0 时的式子，求 x < 0 时的式子。

照着讲 · 一步一步来

"已知 f(x) 是奇函数，当 x > 0 时 f(x) = x² + 2x。求 x < 0 时的表达式。"

"思路：x < 0 时，−x > 0，所以 −x 可以代进已知的那个式子。"

"先算 f(−x) = (−x)² + 2(−x) = x² − 2x。"

"再用奇函数：f(x) = −f(−x) = −x² + 2x。这就是答案。"

"记住这个动作：把'不符合区间'的 x 先变成'符合区间'的 −x，凑进已知式子，再用奇偶性搬回来。"

他的典型卡点

他常常写完 f(−x) = x² − 2x 就停住，忘了题目要的是 f(x)。这时候问一句："你手里这个是 f(−x)，题目要的是 f(x)，还差哪一步？"

练习

练一练

50 分钟
A 组 · 判奇偶（15 分钟）
  1. f(x) = x⁴ − 2x²
  2. f(x) = x³ + x
  3. f(x) = x² + x
  4. f(x) = 1/x，定义域 (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
  5. f(x) = √x
对答案
1. 偶。
2. 奇。
3. 非奇非偶。
4. 奇（定义域对称，f(−x) = −1/x = −f(x)）。
5. 定义域 [0,+∞) 不关于原点对称，直接判非奇非偶，不必计算。这题是筛子：动笔算 f(−x) 说明"第一步看定义域"还没形成习惯。
B 组 · 用奇偶性求解析式（20 分钟）
  1. f(x) 为偶函数，x ≥ 0 时 f(x) = x² − 3x，求 x < 0 时的 f(x)。
  2. f(x) 为奇函数，x > 0 时 f(x) = 1/x + 1，求 x < 0 时的 f(x)。
  3. f(x) 是定义在 R 上的奇函数，则 f(0) 是多少？若 f(2) = 5，f(−2) 是多少？
对答案
1. x < 0 时 f(x) = f(−x) = (−x)² − 3(−x) = x² + 3x。
2. f(−x) = 1/(−x) + 1 = −1/x + 1，再由奇函数得 f(x) = −f(−x) = 1/x − 1。
3. f(0) = 0；f(−2) = −5。
C 组 · 含参与综合（15 分钟）
  1. 若 f(x) = x² + ax 是偶函数，求 a。
  2. 若 f(x) = ax⁵ + bx³ + cx + 3，且 f(2) = 5，求 f(−2)。
  3. 若 f 为偶函数且在 [0, +∞) 上递增，则 f(−2) 与 f(1) 谁大？
对答案
1. a = 0。
2. 令 g(x) = ax⁵+bx³+cx（奇函数）。g(2) = f(2) − 3 = 2，则 g(−2) = −2，f(−2) = g(−2) + 3 = 1。"常数项单拎出来"是这类题的固定拆法。
3. f(−2) = f(2) > f(1)，因为 2 > 1 且在 [0,+∞) 上递增。
复盘

三个坑 + 让他讲给你听

20 分钟
错误根源我的一句话
忘记先查定义域把奇偶当成"算 f(−x)""这个函数的定义域长什么样？它是左右对称的一段吗？"
认为"f(0)=0 就是奇函数"把必要条件当充分条件"举一个 f(0)=0 但不奇不偶的例子。"
求另一半解析式时把 −x 写成 x符号运算不熟"(−x)² 和 −x² 一样吗？"
收口 · 最后 5 分钟

"奇函数、偶函数分别怎么用式子描述？判断奇偶的第一步是什么？"

必须听到"定义域关于原点对称"。这一步答不出来，下讲开头补 15 分钟。

课后布置

1. 判奇偶 8 道，其中至少 2 道是"定义域不对称"的陷阱题。
2. 用奇偶性求解析式 3 道。
3. 预习：指数函数为什么都过 (0, 1)？