函数讲义 04 · 奇偶性与对称性

准备

开讲前先做三题

三题只问一件事：你知不知道"对称"在式子上长什么样。

先做三题

f(x) = x² 的图象是关于什么对称的？
y = x³ 的图象，左半边和右半边什么关系？
f(x) = √x 是奇函数还是偶函数？

01

先过一道筛子：定义域

例题 1（先自己想）

f(x) = x² 只在 [0, 1] 上取值，它还是偶函数吗？

代 f(−1)：−1 根本不在定义域里，f(−1) 无意义。所以要验证 f(−x) = f(x)，连"f(−x) 能不能算"这一步都过不去。结论：不是。定义域 [0,1] 不关于原点对称。

必记 · 前提

讨论奇偶性的前提是：定义域关于原点对称（每一个 x 和 −x 都在定义域里）。

图 1　y = x² 在 R 上关于 y 轴对称（左右翻过来一样）。这就是偶函数的样子。

对比着看：把这张图只留右半边（[0, 1] 那一段），左右翻过来就不再重合了——图被剪掉了一半。奇偶性要的就是"两边都在"，所以第一件事永远是查定义域。

02

两个式子，记死

定义

偶函数：f(−x) = f(x)，图象关于 y 轴对称。

奇函数：f(−x) = −f(x)，图象关于原点对称。

口诀："奇函数转半圈（绕原点），偶函数照镜子（照 y 轴）。"

图 2　左边：关于 y 轴对称（偶）；右边：关于原点中心对称（奇）。看形状就能认出是哪种。

从定义能立刻推出的一条

奇函数的图象过原点（如果 0 在定义域内），那么 f(0) = 0。
推导：f(−0) = −f(0)，即 f(0) = −f(0)，所以 f(0) = 0。

这一条考试常考，尤其在"求参数"的题里。

03

判断奇偶性的三条路（按顺序走）

必记 · 顺序不能乱

① 求定义域 → 是否关于原点对称？不对称 ⇒ 非奇非偶，结束 ② 代 f(−x)，化简 ③ 比较：= f(x) 是偶；= −f(x) 是奇；都不是 ⇒ 非奇非偶

例题 2

判断 f(x) = x³ + x 的奇偶性。

① 定义域 R，关于原点对称 ✓。 ② f(−x) = (−x)³ + (−x) = −x³ − x。 ③ 提出负号：= −(x³ + x) = −f(x)。结论：奇函数。

例题 3（陷阱）

判断 f(x) = √x 的奇偶性。

① 定义域 [0, +∞)，不关于原点对称（−1 不在里面）。 ② 到此为止，答案是非奇非偶。

04

知道一半，求另一半

这类题的方法只有一句：把不在已知区域的 x，凑进已知区域里去，再搬回来。

例题 4

f(x) 是奇函数，当 x > 0 时 f(x) = x² − 2x。求 x < 0 时的解析式。

设 x < 0，则 −x > 0，落在已知区域里。代已知式子：f(−x) = (−x)² − 2(−x) = x² + 2x。用奇性搬回来：f(x) = −f(−x) = −(x² + 2x) = −x² − 2x。

提醒

先写"设 x < 0，则 −x > 0"，这句话是得分点。直接代 f(x) = x² − 2x 是错的——那个式子只在 x > 0 时才成立。

练习

练习（先写完，再点开对答案）

A 组 · 判断奇偶

f(x) = x⁴ − 2x²
f(x) = x³ − 1
f(x) = 1/x²
f(x) = √(1 − x²) / |x + 2|
f(x) = √x

对答案

1. 偶（三次项、一次项都没有）。
2. 非奇非偶（f(−x) = −x³ − 1，既不等于 f(x) 也不等于 −f(x)）。
3. 偶（1/(−x)² = 1/x²）。
4. 先求定义域：1 − x² ≥ 0 → [−1, 1]，对称 ✓；且此时 x+2 > 0，绝对值可去掉 → f(x)=√(1−x²)/(x+2)。f(−x) = √(1−x²)/(−x+2) ≠ ±f(x)。非奇非偶。
5. 非奇非偶（定义域不对称）。第 5 题是筛子：先求定义域再说话的都会做对。

B 组 · 求参数 / 求另一半

f(x) = ax³ + bx 是奇函数，求 a、b 需要满足什么？（这题其实是白给的：为什么？）
f(x) 是奇函数，x > 0 时 f(x) = x² − x，求 f(−2)。
f(x) 是偶函数，x > 0 时 f(x) = x + 1，求 x < 0 时的解析式。

对答案

1. 任何 a、b 都可以：ax³ + bx 本身就是奇函数（奇次幂相加还是奇）。
2. f(−2) = −f(2) = −(4 − 2) = −2。
3. 设 x < 0，则 −x > 0：f(−x) = −x + 1；偶性 ⇒ f(x) = f(−x) = −x + 1。

C 组 · 拆项与整体

已知 f(x) = ax⁵ + bx³ + cx + 3，且 f(2) = 5，求 f(−2)。
若 f 是奇函数且在 (0, +∞) 上递增，判断 f(−3) 与 f(−1) 的大小。
奇函数 f 满足 f(1) = 2，f(x + 2) = f(x)（周期 2），求 f(5)。

对答案

1. 设 g(x) = ax⁵ + bx³ + cx，它是奇函数。f(2) = g(2) + 3 = 5 ⇒ g(2) = 2。f(−2) = g(−2) + 3 = −2 + 3 = 1。
2. −3 < −1，而 f 在 (−∞,0) 上也递增（奇函数在对称区间上单调性相同），所以 f(−3) < f(−1)。
3. f(5) = f(3) = f(1) = 2。

易错

三个最容易犯的错

错误	根子在哪	怎么办
不查定义域就代 f(−x)	以为奇偶性只看式子	把"求定义域"写在第一行，养成肌肉记忆。
求另一半解析式时直接代入已知式	忘了那个式子只在半个区间成立	永远先写"设 x < 0，则 −x > 0"。
把"奇函数 f(0)=0"用在 0 不在定义域时	不看前提	用之前问一句：0 在定义域里吗？

自测

这一讲的过关清单

能做到就打勾

我能说出奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
我能不看书写出偶函数、奇函数各自的那个等式，以及各自对应的对称方式。
我能按"定义域 → 代 −x → 比较"三步判断任意一个函数的奇偶性。
我能解出"知道一半求另一半"的题，并且写出那句"设 x < 0"。
我能用"拆项成奇函数部分 + 常数"的方法算 f(2)+f(−2) 这类题。

课后布置

1. 判断 6 个函数的奇偶性，每个都先写定义域。
2. 若 f 在 [−3, 3] 上是偶函数，且 f 在 [0,3] 上单调递减，说出 f 在 [−3,0] 上的单调性并说明理由。
3. 下次课复述口诀："奇函数转半圈，偶函数照镜子"。