函数讲义 · 05 学生

指数函数

两小时 · 必须先学过 03、04

学完这一讲，你要能做到：画出两种指数图象，并用"三招"比较大小。

这一讲要记住的一句话
指数函数的底数一旦大于 1 就是一路上升，一旦在 0 到 1 之间就是一路下降——所有题目最后都归到"底数和 1 比大小"。
准备

开讲前先做三题

三题只看一件事：指数运算你手不手生。

先做三题
  1. 2³ × 2⁴、2⁰、2⁻¹ 分别是多少？
  2. 4^(1/2)、8^(2/3) 分别是多少？
  3. 2ˣ = 8 中 x 是多少？2ˣ = 7 呢？
01

指数函数的定义

定义

形如 y = aˣ　(a > 0，且 a ≠ 1) 的函数叫做指数函数。x 在指数位置上，这是它和下面积函数的根本区别。

为什么不许 a = 1？因为 1ˣ 永远是 1，一条直线，不叫指数函数。为什么不许 a ≤ 0？因为 a < 0 时 a^(1/2) 无意义，a = 0 时 0 的负数次方无意义。

三个自己看出来的结论

1. 值域是 (0, +∞)：a 的任何次方都不可能是 0 或负数，所以图象永远在 x 轴上方，且永不相交。

2. 必过点 (0, 1)：因为 a⁰ = 1，跟 a 是多少无关。

3. 定义域是 R：任何数都能放在指数上。

和 05 讲第一句话对上的地方

下面这类比较大小的题，全部归到一件事：先看底数在 1 的哪一边。底数定了，单调方向就定了，比大小只剩比指数还是比真数。

02

两类图象，一定要能徒手画

找张纸，把 y = 2ˣ 和 y = (1/2)ˣ 各描五个点画一遍（x = −2, −1, 0, 1, 2）。描点之前先自己猜：这两条线会往哪边弯？

必记 · 两类图象

a > 1（如 2ˣ、3ˣ）：从左到右上升，在 R 上单调递增；x → +∞ 时无限升高，x → −∞ 时贴近 x 轴但不相交。

0 < a < 1（如 (1/2)ˣ）：从左到右下降，在 R 上单调递减；x → +∞ 时贴近 x 轴，x → −∞ 时无限升高。

两者都过 (0, 1)，都在 x 轴上方。底数越大，a > 1 时曲线在 y 轴右侧越陡。

指数函数 y=2^x 与 y=(1/2)^x 的图象 两条指数曲线都过点 (0,1)，都永远在 x 轴上方。底数大于 1 的曲线从左到右上升，底数在 0 到 1 之间的曲线从左到右下降，两条曲线关于 y 轴对称。 x y O (0, 1) y = 2ˣ（a > 1，上升） y = (1/2)ˣ（0 < a < 1，下降） y = 0 是渐近线
图 1　两条曲线都过 (0, 1)，都永远在 x 轴上方。底数大于 1 的往上升，底数在 0 和 1 之间的往下降，而且这两条恰好关于 y 轴对称。
a > 1（2ˣ、3ˣ）从左到右上升，在 R 上单调递增；x → +∞ 无限升高，x → −∞ 时贴近 x 轴但永不相交。
0 < a < 1（(1/2)ˣ）从左到右下降，在 R 上单调递减；x → +∞ 时贴近 x 轴，x → −∞ 时无限升高。
共同点都过 (0, 1)；都在 x 轴上方，值域 (0, +∞)；定义域都是 R。
底数越大a > 1 时，y 轴右侧曲线越陡（3ˣ 比 2ˣ 涨得快）。
两张图的关系是 (1/2)ˣ = 2^(−x)：x 变成 −x，图象关于 y 轴翻折。这正是 01 讲"括号里换号"和 04 讲"偶函数"那一套的另一半版本。
03

比较大小：三招

情况怎么办要不要动脑
底数相同（或能化成相同）用单调性：底 a > 1 时指数大的值大；0 < a < 1 时反过来不用，直接比指数
指数相同化成底数比较：或统一成同底，或用 0 到 1 之间底数的性质稍微想一下
既不同底也不同指找中间数 1（或 0），插进去隔开要动脑
例题 1（同底）
比较 2^0.3 与 2^0.5 的大小。
底数都是 2 > 1，函数 2ˣ 递增。 0.3 < 0.5 ⇒ 2^0.3 < 2^0.5。
底数相同，就不用想别的，直接比指数——底数 > 1 时指数大的值大。
例题 2（找中间数）
比较 1.7^0.3 与 0.9^3.1 的大小。
1.7 > 1 ⇒ 1.7^0.3 > 1.7⁰ = 1。 0 < 0.9 < 1 ⇒ 0.9^3.1 < 0.9⁰ = 1。 所以 1.7^0.3 > 1 > 0.9^3.1。
既不同底也不同指时，找一个中间数 1 把两边隔开，比大小的题就拆成两个单边比较。
04

指数函数和前面两讲怎么串起来

例题 3（回扣 01 坐标变换）
y = 2^(x−1) 与 y = 2ˣ 什么关系？图象过哪个点？
x 变成 x − 1 ⇒ 右移 1 个单位（括号里减几，往右走几）。 原来过的 (0, 1)，右移 1 后变成 (1, 1)。 于是 2^(x−1) − 1 过 (1, 0)，值域变成 (−1, +∞)。
例题 4（回扣 04 对称）
y = 2ˣ 与 y = (1/2)ˣ 为什么对称？
(1/2)ˣ = (2⁻¹)ˣ = 2^(−x)。 x 换成 −x ⇒ 图象关于 y 轴对称。 这就是 04 讲里偶函数那一套的"半个版本"：整个式子不变，只有 x 变号。
练习

练习（先写完，再点开对答案）

A 组 · 基本性质
  1. y = 3ˣ 的定义域、值域、必过的点、单调性。
  2. y = (2/3)ˣ 是增函数还是减函数？为什么？
  3. y = 2^(x−1) 过哪个点？y = 2^(x−1) − 1 呢？
对答案
1. R；(0, +∞)；(0, 1)；在 R 上单调递增。
2. 减函数。0 < 2/3 < 1。
3. (1, 1) 与 (1, 0)。
B 组 · 比较大小
  1. 3^0.4 与 3^0.3
  2. 0.8⁻⁰·¹ 与 0.8⁻⁰·²
  3. 5^0.2 与 1
  4. 0.6^2 与 0.6⁻²
对答案
1. >（底 3 > 1，指数大的大）。
2. <（底 0.8 < 1 递减，−0.1 > −0.2，所以 0.8^−0.1 < 0.8^−0.2）。
3. >（5 > 1，5^0.2 > 5⁰ = 1）。
4. <（底 0.6 < 1 递减，2 > −2，所以 0.6² < 0.6⁻²）。这题最容易只盯指数。
C 组 · 用到别处
  1. 解 2^x = 1/8。
  2. 若 a^x < a^y 且 x < y，求 a 的范围。
  3. 函数 y = 2^(−x²+2x) 的最大值是多少？在 x 等于多少时取到？
对答案
1. 1/8 = 2⁻³ ⇒ x = −3。
2. 指数小的值也小 ⇒ 函数递增 ⇒ a > 1。
3. 内层 u = −x² + 2x = −(x−1)² + 1 ≤ 1，外层 2^u 递增，所以最大值 = 2¹ = 2，在 x = 1 时取到。（同增异减：外层增，内层抛物线的单调性就是整体的单调性。）
易错

三个最容易犯的错

错误根子在哪怎么办
说值域是 [0, +∞)把"无限接近 0"当成了"等于 0"aˣ 永远为正，0 取不到。x 轴是渐近线。
不比较底数与 1 就比单调性默认所有指数函数都增先写一行：底数 a ? 1，再决定"同向还是反向"。
把 2^(x−1) 看成"下移"加减号位置没分清加减在指数里（x 的部分）→ 左右移；加减在整个式子外面 → 上下移。
自测

这一讲的过关清单

课后布置

1. 在坐标纸上把 2ˣ、3ˣ、(1/2)ˣ 三条曲线画在同一张图里。
2. 比较大小的 10 道题（含负数指数）。
3. 下次课第一件事：说出"为什么 a 必须大于 0 且不等于 1"。