函数讲义 · 06 学生

对数函数

两小时 · 必须先学过 05

学完这一讲，你要能做到：在 aˣ = N 与 logₐN 之间自由转换，并守住"真数大于 0"。

这一讲要记住的一句话
对数就是"反过来问指数"：2 的几次方等于 7，那个次数就是 log₂7。所有性质都从这一句推。
准备

开讲前先做两题

先做两题
  1. 上一讲留的问题：2ˣ = 8 中 x = 3。那 2ˣ = 7 呢？x 是什么数？
  2. 2³ = 8，这里面"2、3、8"分别叫什么名字？（底数？指数？结果？）
01

对数是这么来的

2³ = 8 是"已知底数和次数，求结果"。但实际遇到的往往是反过来：已知底数和结果，求次数。这个"次数"写不出来是个数，只能造一个新记号给它。

定义

若 aˣ = N（a > 0 且 a ≠ 1，N > 0），就记作 x = logₐN，读作"以 a 为底 N 的对数"。

a 叫底数，N 叫真数。约定：底数必须正且不等于 1，真数必须大于 0。

本讲唯一的根
aˣ = N　⇔　x = logₐN

这两个式子是同一句话的两种写法。所有题都先把它翻成你能做的那一边。

指数式与对数式互化示意 示意图：2 的 3 次方等于 8 与 log 以 2 为底 8 等于 3 的对应关系，底数留在下面，指数与结果位置对调。 2³ = 8 ⇅ log₂8 = 3 ⑧ 底数在下面，两边都不动 ③ 指数 ↔ 对数值：位置对调 ⑧ 结果 ↔ 真数：位置对调 aˣ = N　⇔　x = logₐN log 这个词回答的就是"几次方"
图 1　从左边翻到右边，只有两件事：底数 a 不动，结果 N 和次数 x 换个位置。
例题 1（互化）
把下面四句来回翻：2³ = 8、3⁻² = 1/9、log₂16 = 4、log₃9 = 2。
2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3。 3⁻² = 1/9 ⇔ log₃(1/9) = −2。 log₂16 = 4 ⇔ 2⁴ = 16。 log₃9 = 2 ⇔ 3² = 9。
互化只动两处：底数始终待在下面不动，真数 N 和次数 x 交换位置。按住这两条去写，不会把 2 和 8 弄反。
02

四条性质，全部从互化推出来

下面四条不要背，每条都用一次 aˣ = N ⇔ x = logₐN 当场推给自己看。

结论为什么（用互化推）
logₐ1 = 0a⁰ = 1
logₐa = 1a¹ = a
a^(logₐN) = N就是定义本身再代一次
logₐ(aˣ) = x同上，反向代
图象上的三条（和 05 讲对照）

必过点 (1, 0)：因为 logₐ1 = 0。注意是指数函数那个 (0,1) 的两个数换了位置。

定义域 (0, +∞)，值域 R：正好和指数函数反过来。

a > 1 递增，0 < a < 1 递减：和指数函数同向。

为什么会跟 y = x 对称

因为 y = logₐx 就是 y = aˣ 把 x、y 互换。互换坐标 = 关于直线 y = x 翻折。这和 01 讲"图象是点的集合"是同一套逻辑：点换了位置，图就换了位置。

y=2^x 与 y=log 2 x 关于直线 y=x 对称 指数曲线 y=2^x 与对数曲线 y=log_2 x 互为反函数，把它们关于直线 y=x 折叠会完全重合。指数曲线过 (0,1)，对数曲线过 (1,0)，这两个点正好关于 y=x 对称。 x y O y = x (0, 1) (1, 0) y = 2ˣ y = log₂x 沿 y = x 对折，两条重合
图 2　把 y = 2ˣ 沿直线 y = x 折过去，正好压在 y = log₂x 上。点也对得上：指数曲线过的 (0, 1)，翻过去就是对数曲线过的 (1, 0)。
对数曲线与指数曲线的对称，折痕是斜的直线 y = x。(0,1) 翻过去是 (1,0)；x 轴上方那半边翻过去，就变成 y 轴右边那半边。拿张纸盖住一半折一下，比看十遍式子清楚。
函数y = logₐx（a > 0，a ≠ 1）
定义域(0, +∞)——只能对正数取对数
值域R——可以取到任何实数（指数函数的值域反过来）
必过点(1, 0)，因为 logₐ1 = 0
单调性a > 1 递增；0 < a < 1 递减（和指数函数同向）
与指数关于直线 y = x 对称
03

"真数大于 0"从哪来

回到 aˣ = N：左边是正数的任何次方，结果永远大于 0。所以 N 不可能 ≤ 0，也就不能对 0 或负数取对数。

例题 2
求 y = log₂(x − 1) 的定义域。
真数 x − 1 > 0。 x > 1，即 (1, +∞)。 顺带：图象是把 log₂x 右移 1 个单位（回扣 01），过点 (2, 0)。
例题 3（叠两层限制）
求 y = log₀.₅(x − 1) 过哪个点、是增还是减。
定义域 x > 1。 真数为 1 时对数为 0：x − 1 = 1 ⇒ x = 2，过 (2, 0)。 底 0.5 < 1 ⇒ 在定义域上单调递减。
练习

练习（先写完，再点开对答案）

A 组 · 互化与求值
  1. 把 5² = 25 写成对数式。
  2. 把 log₄16 = 2 写成指数式。
  3. 求 log₂32、log₃(1/27)、log₇1。
  4. 求 2^(log₂5)、log₄2。
对答案
1. log₅25 = 2。
2. 4² = 16。
3. 5；−3；0。
4. 5；log₄2 = 1/2（因为 4^(1/2) = 2）。
B 组 · 定义域与性质
  1. y = log₃(x + 2) 的定义域、必过点。
  2. y = log₀.₅(x − 1) 是增还是减？为什么？
  3. y = log₂x 与 y = log₂(x+3) 的位置关系？
对答案
1. x > −2，即 (−2, +∞)；真数为 1 时 x + 2 = 1 ⇒ 过 (−1, 0)。
2. 减函数。底数 0.5 在 (0,1) 之间。
3. 后者是把前者左移 3 个单位（括号里加 3 → 往左）。
C 组 · 比较与复合
  1. 比较 log₂3 与 log₃2，中间用 1 隔开。
  2. 比较 log₀.₅3 与 log₀.₅5。
  3. 求 y = log₂(x² − 1) 的定义域。
对答案
1. log₂3：真数 3 > 2 ⇒ > log₂2 = 1。log₃2：真数 2 < 3 ⇒ < log₃3 = 1。所以 log₂3 > 1 > log₃2。
2. 底 0.5 < 1 递减，3 < 5 ⇒ log₀.₅3 > log₀.₅5。
3. x² − 1 > 0 ⇒ x < −1 或 x > 1，即 (−∞,−1) ∪ (1,+∞)。
易错

三个最容易犯的错

错误根子在哪怎么办
写 log₂(8) = 3 时把 2 和 8 弄反互化时位置记混只记两件事：底数不动、N 与 x 换位。写之前先念一遍"以 2 为底 8 的对数是几"。
不查真数就求定义域把对数当成普通函数看到 log，第一个动作就是"真数 > 0"。
以为 logₐ(M·N) = logₐM · logₐN把对数和乘法混淆正确的是 logₐ(MN) = logₐM + logₐN（乘法变加法）。不确定就代一组数验证。
自测

这一讲的过关清单

课后布置

1. 互化练习 10 组（指数 ⇄ 对数）。
2. 求 5 个对数函数的定义域，每个都从列不等式开始。
3. 画 y = log₂x 与 y = 2ˣ，并画出 y = x，观察翻折。