函数讲义 · 07 学生

零点与图象

两小时 · 必须先学过 03、05、06

学完这一讲，你要能做到：把"解方程"翻译成"看交点"，并用零点存在定理判断根的范围。

这一讲要记住的一句话
零点是一个数，不是点。方程的根、函数图象与 x 轴的交点横坐标、零点——这三件事说的是同一件事。
准备

开讲前先做三题

先做三题
  1. f(x) = x² − 4 的零点是哪两个数？
  2. "f(0) < 0 且 f(2) > 0，所以 f 在 (0,2) 内一定有一个零点"——这句话一定对吗？
  3. x + 1 = 2ˣ 有几个解？能看出来吗？
01

三种说法，一件事

定义

使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 f(x) 的零点。

本讲核心的翻译表

方程 f(x) = 0 的根 ⇔ 函数 y = f(x) 的零点 ⇔ 图象与 x 轴交点的横坐标

三句是同一件事的三种说法。考试里见哪一句，都能翻成最方便的那一句。

零点不是点

"零点是 (2, 0)"——错。零点是数 2。写成点的是交点。

02

数形结合三步法

必记 · 三步
① 把方程拆成左边一个函数、右边一个函数　② 各画一条曲线　③ 看交点的个数与位置

这比"硬解方程"强，因为很多方程根本解不出来（比如 2ˣ = x + 1 之外的 2ˣ = 3 − x）。

例题 1
解 |x| = 2，并说明用的是哪一步。
① 拆：左边 y = |x|，右边 y = 2（一条水平线）。 ② 画：V 字形和水平线。 ③ 看：两个交点，横坐标 x = 2 和 x = −2。 所以方程有两个解。
纯算术解 |x| = 2 容易只写出 2，漏掉负数那个解；画成两条线，个数一眼看得出来。
坐标系示意图：两条图象在同一坐标系中相交，用于数交点个数。 坐标系示意图：两条图象在同一坐标系中相交，用于数交点个数。-4-224-1246810y=|x−1|y=|x|−1y=|x|
图 1　方程的解 = 交点横坐标。线画出来，个数一目了然；纯算术容易漏掉负数那个解。
03

零点存在定理：三要素缺一不可

定理

如果函数 y = f(x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a) · f(b) < 0，那么函数在 (a, b) 内至少有一个零点。

要素少了会怎样
① 连续不断断了就能跳过 x 轴，两端异号也没有零点
② 两端函数值异号两端同号时，中间可能有零点（如 x² 在 [−1,1]），也可能没有
③ 结论是"至少一个"不是"只有一个"，个数要靠别的方法（单调性）再确定
例题 2（反例：为什么不连续就失效）
f(x) = 1/x 在 [−1, 1] 上，f(−1) = −1，f(1) = 1，异号。有零点吗？
f(−1)·f(1) = −1 < 0，按定理好像该有零点。 但 1/x 永远不等于 0，没有零点。 原因：f 在 x = 0 处断开了，定理的第一个条件不满足。
组合拳：单调 + 异号 ⇒ 唯一零点

由 03 讲，若 f 在 [a,b] 上单调，那么图象一路走，最多穿过 x 轴一次；再加上 f(a)·f(b) < 0 保证至少一次，合起来就是恰好一个。

例题 3
证明 f(x) = x³ + x − 1 在 (0, 1) 内恰有一个零点。
连续性：多项式显然连续。 异号：f(0) = −1 < 0，f(1) = 1 > 0 ⇒ 至少一个。 单调：x³ 和 x 都递增，和为递增 ⇒ 最多一个。 结论：恰好一个。
练习

练习（先写完，再点开对答案）

A 组 · 求零点
  1. f(x) = 2x − 6
  2. f(x) = x² − 5x + 6
  3. f(x) = 2ˣ − 8
  4. f(x) = log₂(x − 1)
对答案
1. 3。　2. 2 和 3。　3. x = 3。　4. x = 2（真数 = 1）。
B 组 · 数交点
  1. |x| = 2 有几个解？
  2. 2ˣ = x + 1 有几个解？（画两条曲线）
  3. x² = 2x 有几个解？
对答案
1. 两个（2 和 −2）。
2. 两个（x = 0 和 x = 1）。这是典型的必须画图才不漏解的题。
3. 两个（x = 0、2）。
C 组 · 定理应用
  1. f(x) = 2x + 1，在 (0, 1) 内。能用零点存在定理说明有零点吗？
  2. f(x) = x³ − x − 1 在 [1, 2] 内是否恰有一个零点？
  3. 若 f 在 [a,b] 上单调递增且 f(a) < 0 < f(b)，f 在 (a,b) 内有几个零点？
对答案
1. 不能。f(0)=1 > 0，f(1)=3 > 0，两端同号，条件②不满足（事实上它的零点是 −1/2，本来就不在 (0,1) 里）。这题是故意设的坑。
2. 是。f(1) = −1 < 0，f(2) = 5 > 0 ⇒ 至少一个；x³ 与 −x 都递增 ⇒ 最多一个。恰一个。
3. 恰好一个。
易错

三个最容易犯的错

错误根子在哪怎么办
把零点写成点 (2, 0)"零点"这个词片面的字面理解零点是一个数；交点才是点。
只由"两端异号"就断定恰有一个零点漏掉"至少"两个字要证唯一，必须再加一句单调性。
两端同号就说"没有零点"把定理反着用了定理只给"异号⇒有"，不给"同号⇒无"。
自测

这一讲的过关清单（也是这七讲的总结）

课后布置

1. 求 6 个函数的零点。
2. 3 道"恰有一个零点"的证明题（必须写出连续、异号、单调三部分）。
3. 复习：合上书，把七讲各用一句话说出来，录给你自己听。